2021年浙江海洋大学泛函分析考研加试大纲及参考书目

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同等学力加试科目：

泛函分析

一、考查目标

泛函分析是数学专业的基础课。它形成于20世纪30年代，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。泛函分析可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析，是学习现代数学必不可少理论基础，为学习现代数学，特别是偏微分方程，概率论，计算数学等学科分支提供了强有力的研究方法。

二、试卷结构

1、题型结构

名词解释(30分)、简答题(30分)、证明题(40分)，共计100分。

2、内容结构

度量空间和赋范线性空间(25%)、有界线性算子和连续线性泛函(15%)、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间(25%)、巴拿赫空间中的基本定理(20%)、线性算子的谱(15%)。

三、考试内容和要求

1、度量空间和赋范线性空间

度量空间定义及例子，度量空间中的极限、稠密集、可分空间，连续映射，完备度量空间，压缩映射原理及其应用，赋范线性空间和巴拿赫空间定义与例子。

2、有界线性算子和连续线性泛函

有界线性算子和连续线性泛函的定义与例子;有界线性算子空间和共轭空间的定义与例子。

3、内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

内积空间的定义与例子，投影定理，希尔伯特空间中的规范正交系，希尔伯特空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

4、巴拿赫空间中的基本定理

泛函延拓定理及其应用，C[a，b]的共轭空间，共轭算子，纲定理和一致有界性定理，强收敛、弱收敛和一致收敛的定义及例子，逆算子定理，闭图像定理

5、线性算子的谱

谱的概念及例子，有界线性算子谱的基本性质，紧集和全连续算子的谱，自伴全连续算子的谱论。

四、推荐书目：

1、程其襄，张奠宙，魏国强等编著，《实变函数与泛函分析基础，第三版》，高等教育出版社，2010.

2、汪林编著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.