2021年上海应用技术大学数学分析考研大纲

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《数学分析》考试大纲

1.实数集与函数

(1)掌握集合的概念与运算，区间与邻域。理解映射与一一对应概念。了解几个重要不等式。理解确界原理。

(2)掌握函数概念。掌握复合函数方法。了解反函数存在定理。理解初等函数。

(3)掌握函数的几种特性(单调性、有界性、奇偶性、周期性等)

2. 数列极限

(1)理解数列极限概念。

(2)掌握收敛数列的性质。理解数列极限存在的条件。

3. 函数极限

(1)理解函数极限概念，掌握ε-δ论证方法。

(2)掌握函数极限的性质。理解函数极限存在的条件。

(3)掌握两个重要极限的应用。

(4)掌握无穷小与无穷大概念。

4. 函数的连续性

(1)理解函数的连续与间断概念。

(2)了解连续函数的性质。了解复合函数与反函数的连续性。理解闭区间上连续函数的性质。

(3)理解函数的一致连续性。理解初等函数的连续性。

5. 导数和微分

(1)掌握导数概念。

(2)掌握求导法则与导数计算。

(3)理解微分概念。

(4)理解高阶导数与高阶微分

6. 微分中值定理及其应用

(1)理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。

(2)掌握Taylor公式和L’Hospital法则。

(3)理解函数的凸性及其性质。

(4)掌握利用导数研究函数的性态及函数作图。

7. 实数的完备性

(1)理解子列概念。理解致密性定理，区间套定理，有限覆盖定理。理解实数连续性定理的等价性。

(2)了解上、下极限概念。

8.不定积分

(1)理解原函数与不定积分概念。掌握基本积分公式和不定积分的运算法则。

(2)掌握换元积分法与分部积分法。

(3)掌握有理函数的不定积分，三角函数的不定积分和某些无理函数的不定积分。

9. 定积分

(1)理解定积分概念。掌握Newton-Leibniz公式。

(2)了解Darboux上、下和与Darboux上、下积分。理解可积充要条件和可积函数类。

(3)理解定积分性质。掌握变限积分及其性质。理解积分中值定理。

10. 定积分的应用

(1)理解微元法的基本思想。掌握用定积分计算几何问题 (平面图形面积，已知截面函数的立体体积，平面曲线弧长，旋转体的体积与侧面积)。

(2)掌握定积分计算物理问题 (变力做功，侧压力，质量与质心计算，引力问题)。掌握曲率计算。了解定积分的近似计算。

11. 反常积分

(1)理解反常积分概念

(2)理解无穷积分与瑕积分的收敛与发散概念。掌握敛散性判别法(比较法、Cauchy收敛准则、Dirichlet判别法与Abel判别法)。

12. 数项级数

(1)理解级数的收敛与发散概念。理解收敛级数的性质，Cauchy收敛准则。掌握正项级数的判别方法 (基本定理，比较法、比值法、根值法、积分法)。

(2)理解绝对收敛与条件收敛。掌握交错级数的Leibniz判敛法，任意项级数的Dirichlet判别法与Abel判别法。

(3)了解级数的重排，级数的乘法，无穷乘积。

13. 函数列与函数项级数

(1)理解点态收敛与一致收敛概念。掌握函数列与函数级数一致收敛及判别法。

(2)理解一致收敛函数列与函数级数的分析性质。

14. 幂级数

(1)掌握幂级数的收敛半径的求法，收敛区间与收敛域。

(2)掌握幂级数的和函数计算。掌握函数的幂级数展开式。

15. 傅里叶级数

(1)理解傅里叶级数的概念。会将函数展开为傅里叶级数。

(2)理解以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式。

16. 多元函数的极限与连续

(1)理解平面点集，平面点列极限。了解R2上完备性定理。理解多元函数概念。

(2)掌握二元函数的极限与连续。理解有界闭区域上连续函数的性质。

17. 多元函数微分学

(1)理解偏导数与全微分的概念。掌握偏导数与全微分的计算。

(2)掌握复合函数的微分法，及方向导数与梯度的计算。

(3)理解多元函数的Taylor公式。

(4)掌握二元函数的极值与最值。

18. 隐函数存在定理及其应用

(1)理解隐函数概念。理解隐函数存在定理。

(2)掌握隐函数的微分法。了解隐函数组概念和存在定理。

(3)掌握空间曲线的切线和法面，空间曲面的切面和法线。

(4)掌握条件极值与Lagrange乘数法，最小二乘法。

19. 含参变量积分

(1)理解含参变量常义积分的分析性质。

(2)理解含参变量反常积分的一致收敛性概念。

(3)掌握一致收敛性判别法。理解一致收敛性积分的分析性质及其应用。

(4)了解Euler积分。

20. 曲线积分

(1)理解两类曲线积分的概念与性质。

(2)掌握两类曲线积分的计算。

(3)了解两类曲线积分的联系。

21.重积分

(1)理解二重积分概念。理解可积性充要条件。了解重积分的基本性质。理解三重积分概念。

(2)掌握二重积分与三重积分的计算，理解重积分的变量替换。

(3)掌握格林公式。理解曲线积分与路径无关的条件。

(4)掌握极坐标、柱面坐标与球面坐标的计算法。

(5)掌握重积分的几何应用与物理应用。

22. 曲面积分

(1)理解两类曲面积分的概念与性质。

(2)掌握第一类曲面积分的计算。

(3)理解曲面的侧，掌握第二类曲面积分的计算。

(4)了解两类曲面积分的联系。

(5)掌握Gauss公式和Stokes公式。

参考资料书：

《数学分析》(第4版，上、下册) 华东师范大学数学系 高等教育出版社 2010

《吉米多维奇数学分析习题集题解》(一至六册) 费定晖等，山东科学技术出版社 2012