2020年海南医学院613数学分析与线性代数考研大纲及参考书目

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Ⅰ.考查目标

数学分析与线性代数是生物信息学及相关专业的一门基础课程。该课程主要由数学分析和线性代数两部分组成，通过对数学分析的学习，使学生系统地获得函数、极限、连续、微积分等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，通过对线性代数的学习，使学生全面的理解和掌握线性相关、线性方程组、矩阵特征值和特征向量等方面的基础知识、基本理论和基本计算方法，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

Ⅱ.参考书

《医用高等数学》第2版 李霞，彭继世主编 北京大学医学出版社，2018年

《医用高等数学》第一版.李霞、贺东奇、姜伟主编.北京大学医学出版社.2013年12月

《医用高等数学》第一版.郭政、韩桂秋、王慕洁主编.黑龙江科学技术出版社.2000年8月

《线性代数及其应用》第三版.(美)莱(Lay，D.C.)著;刘深泉等译 机械工业出版社，2005年

《高等数学》第二版.李忠、周建莹主编.北京大学出版社.2014年5月

《数学分析》第四版.华东师范大学数学系主编.高等教育出版社.2012年5月

Ⅲ.考试形式和试卷结构

答卷方式：闭卷，笔试，所列题目全部为必答题

答题时间：180分钟

卷面满分：150分

考试题型：名词解释、选择题、填空题、问答题、计算题

Ⅳ.考查内容

(一)函数、极限与连续

【基本内容】

(一)实数：有理数与无理数、实数集合的基本性质、区间、绝对值不等式。

(二)函数：变量、函数的概念、性质、初等函数、分段函数、连续函数的局部性质及初等函数的连续性、几种具有某些特性的函数。

(三)数列极限：数列的定义、数列极限的定义、无穷小量、无穷大量，极限的四则运算、收剑数列的性质、极限存在准则、各种趋势函数极限的定义。

(四)函数极限的性质：性质的理解、函数极限的性质、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向无限值时函数的极限、单侧极限、函数极限的运算、连续函数、闭区间上连续函数的性质、最值定理、介值定理。

【基本要求】

1. 掌握实数的概念，区间和绝对值不等式，熟悉无理数和实数集合的基本性质。

2. 掌握函数的概念、表示方法和性质，熟悉函数的几何意义和几种具有某些特性的函数。

3. 掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，熟练利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。各种趋势函数极限的定义，会用定义证明函数的极限。无穷小量、无穷大量及其阶的概念。

4. 掌握函数极限的性质：性质的理解、用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限，利用极限存在准则判定函数极限存在或不存在;会利用直接法和辅助函数法求解极限。

(二)微积分的基本概念

【基本内容】

(一)导数：定义、几何意义、由定义求导数、可导性和连续性的关系。

(二)导数的运算：函数四则运算的求导法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、初等函数的导数、隐函数的求导法则、对数求导法、高阶导数。

(三)微分：定义、几何意义、基本初等函数的微分公式与微分运算法则阶微分形式不变性、微分在近似计算中的应用。

(四)不定积分：原函数定义、不定积分定义、不定积分几何意义、不定积分的性质、不定积分的基本公式。

(五)定积分：定积分的定义、定积分的性质。

(六)微积分学基本定理：积分上限函数及其导数、牛顿-莱布尼兹公式

【基本要求】

1. 掌握导数的概念，理解导数的物理意义与几何意义，熟练使用定义分辨函数是否可导，并理解可导函数与连续函数的关系。

2. 掌握导数的运算规则，熟记函数四则运算求导法则与初等函数的导数，理解复合函数、对数求导法、隐函数等求导法则，熟练的使用导数的运算法则计算导函数，并会计算函数的高阶导数。

3. 掌握微分的定义、几何意义，了解高阶无穷小的定义，认识微分的实质，理解可导与可微的关联与区别。掌握微分的运算规则，熟练使用基本初等函数的微分公式与微分运算法则计算微分，并理解微分形式不变性，会使用微分解决近似计算中的问题。

4. 掌握原函数、不定积分的定义，熟记并会运用不定积分的性质和基本公式解决不定积分问题。

5. 掌握定积分的概念，了解函数可积的充分条件，理解定积分的几何意义，熟悉定积分的性质。

6. 掌握积分上限函数，通过积分上限函数的导数理解定积分与原函数之间的联系，熟悉并学会使用牛顿-莱布尼兹公式解决定积分问题。

(三)积分的计算及应用

【基本内容】

(一)不定积分的计算：换元法、分部积分法、有理式的不定积分。

(二)定积分的计算：换元法、分部积分法。

(三)积分的应用：定积分的元素法、平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长。

【基本要求】

1. 掌握并会利用第一类、第二类换元法，分部积分法解决不定积分问题，熟悉有理函数和三角函数有理式的积分计算方法。

2. 掌握并会利用换元法、分部积分法解决定积分问题。

3. 能熟练使用积分解决应用问题，熟悉定积分的元素法，会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。

(四)微分中值定理与泰勒公式

【基本内容】

(一)微分中值定理：罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理

(二)柯西中值定理与洛必达法则：柯西(Cauchy)中值定理、洛必达法则(L’Hospital)、 型未定式、 型未定式、其它未定式。

 

(三)极值问题：定义、费马定理、充分性条件、求函数极值的步骤、函数的最值。

(四)函数的凸凹性与函数作图：函数的单调性、凸凹性、凹凸性的判别法则、拐点、渐近线的定义、函数作图的步骤。

【基本要求】

1. 掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性。

2. 了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限。

3. 掌握函数极值的概念，了解费马引理，掌握函数取到极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值，会求函数的最大值和最小值，并会解决实际问题的最值。

4. 掌握凹凸性的定义，会用导数判断函数图形的凹凸性，熟练掌握函数单调性的判别方法，会求函数图形的拐点和渐近线，掌握函数作图的步骤。

(五)向量代数与空间解析几何

【基本内容】

(一)向量代数：定义、几何表示、模、单位向量、零向量、反向量、向量的加减、数乘、内积、叉乘、混合积

(二)向量的空间坐标：空间直角坐标系、坐标面与卦限、空间点的直角坐标、空间两点间的距离、空间向量的坐标、向量运算的坐标表示。

(三)空间中平面与直线的方程：平面的方程、点到平面的距离、两平面的相关位置、空间直线的方程、直线与平面的相关位置、直线与平面的交点、空间两直线的相关位置

(四)二次曲面：椭圆曲面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆柱面、双曲柱面、椭圆抛物面、双曲抛物面、抛物柱面。

(五)空间曲线的切线与弧长：空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线的切线与法平面、空间曲线的弧长

【基本要求】

1. 要求理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，向量模的运算，会求单位向量、掌握零向量和反向量，并且要求掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)。

2. 理解空间直角坐标系的概念，理解坐标面于卦限，掌握两点间距离公式，对空间两点间的距离进行运算，并且会使用向量运算的坐标表示。

3.掌握平面的方程与直线的方程，会用简单的条件求平面与直线的方程，理解平面与平面、直线与直线、平面与直线的关系，会求点到平面的距离。

4. 了解常用二次曲面的方程及图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

5. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

(六)多元函数微分学

【基本内容】

(一)多元函数：平面点集、边界点、二元函数、n元函数

(二)多元函数的极限：概念、二元函数的极限运算法则、基本性质

(三)多元函数的连续性：定义、四则运算保持函数连续性、复合函数的连续性、多元初等函数、有界闭区域上连续函数的性质

(四)偏导数：定义、计算法、偏导数的几何意义、高阶偏导数

(五)全微分：定义、性质、可微与连续、可微与偏导数之间的关系、数值计算中的应用

(六)多元函数微分学：复合函数微分法与隐函数微分法、复合函数求导的连锁法则、复合函数的全微分、隐函数微分法

(七)方向导数与梯度：方向导数的定义、计算、与偏导数的关系、梯度计算的运算法则

(八)多元函数微分学：极值问题、多元函数的极值、计算步骤、条件极值和Lagrange乘数法

【基本要求】

1. 理解空间直角坐标系、平面点集、边界点的定义，掌握二元函数、n元函数的概念及其对应的空间图像，熟悉几种常见的曲面及其方程。

2. 掌握多元函数极限的定义及其基本性质，会利用极限存在准则判定二元函数极限存在或不存在，并会熟练利用二元函数的极限运算法则计算二元函数的极限。

3. 掌握多元函数的连续性的概念，理解断点的定义，熟悉四则运算保持函数连续性、复合函数的连续性、多元初等函数、有界闭区域上连续函数的性质，会利用定义判定多元函数极限存在或不存在。

4. 掌握偏导数的定义，并会计算多元函数的一阶偏导数以及高阶偏导数，理解偏导数的几何意义。

5. 掌握全微分的定义和性质，了解二元函数可微与连续的条件，熟悉可微与偏导数之间的关系及全微分在数值计算中的应用。

6. 熟悉多元复合函数的常见形式，会使用连锁法则对复合函数求导;会使用隐函数微分法对隐函数求导。会计算复合函数的全微分。

7. 掌握方向导数、梯度的定义，熟悉方向导数的计算公式和梯度计算的运算法则并能运用于计算，理解方向导数与偏导数的关系。

8. 会利用极限存在准则判定多元函数极限存在或不存在，掌握多元函数的极限计算步骤，能熟练计算多元函数的极限以及条件极值;掌握拉格朗日乘数法，并能运用于条件极值的计算。

(七)重积分

【基本内容】

(一)二重积分：概念、性质、几何意义

(二)二重积分的计算：直角坐标系下计算二重积分、二重积分化累次积分定理、利用二重积分计算空间立体体积、极坐标系下计算二重积分

(三)三重积分：定义、性质、几何意义和计算

【基本要求】

1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的几何意义和性质。

2. 掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

3. 理解三重积分的概念，了解三重积分的几何意义和性质，并且掌握三重积分再直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

(八)曲线积分与曲面积分

【基本内容】

(一)曲线积分：概念、性质、第一、二型曲线积分的计算

(二)曲面积分：概念、性质、第一、二型曲面积分的计算

(三)Green公式：应用、曲线积分与路径无关的定义

【基本要求】

1. 掌握两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法。

2. 掌握两类曲面积分的概念、性质，以及两类曲面积分的计算方法。

曲线积分与曲面积分

3.掌握Green公式, 了解二重积分与曲线积分的关系，运用Green公式于计算平面面积，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

(九)常微分方程

【基本内容】

(一)常微分方程：概念、微分方程的阶、解、通解、特解

(二)可分离变量的微分方程：特殊的一阶微分方程、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

(三)一阶线性微分方程：线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程、柏努利方程

(四)可降阶的微分方程：类型、解法

【基本要求】

1. 掌握常微分方程的基本概念，了解微分方程的阶、解、解的分类。

2. 掌握特殊的一阶微分方程、可分离变量的微分方程、齐次微分方程通解及特解的计算方法。

3. 掌握线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程的解法，了解努利方程通过变量替换化为线性方程的方法。

4. 掌握各类型可降阶的微分方程的解法。

(十)无穷级数

【基本内容】

(一)常数项级数：常数项级数的收敛于发散的概念，收敛级数和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件。

(二)正项级数收敛性的判别法与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

(三)函数项级数的收敛域与和函数的概念。

(四)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法。

【基本要求】

1. 掌握级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件

2. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 ，绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。

3. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

4. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

(十一)线性代数中的线性方程组

【基本内容】

(一)行化简：行初等变换与行阶梯型变换。

(二)线性方程组：线性方程组的概念，高斯消元法求解线性方程组。

(三)齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，解的求法

(四)线性无关：线性相关、线性无关的概念，线性相关、线性无关的有关性质及判别法;

【基本要求】

1. 了解行初等变换及行阶梯型变换的概念，熟练掌握用行初等变换及行阶梯型变换矩阵的方法。

2. 理解线性方程组的概念，熟练使用高斯消元法求解线性方程组。

3. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件，理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

4. 理解线性相关、线性无关的概念，掌握线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

(十二)矩阵代数

【基本内容】

(一)矩阵：基本概念、基本矩阵运算

(二)逆矩阵：定义、特征、求法、基本行(列)运算、初等矩阵、伴随矩阵

(三)矩阵初等变换：概念、初等矩阵、矩阵等价、矩阵的秩

(四)特殊矩阵：概念，性质

【基本要求】

1. 掌握矩阵的基本概念，熟悉乘、加、系数相加、矩阵相乘等基本矩阵运算，了解转置矩阵，能运用运算法则计算转置矩阵。

2. 掌握逆矩阵的定义以及意义，了解其特征以及存在的充分必要条件，熟悉其求法，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

3. 掌握矩阵初等变化的概念，理解初等矩阵与矩阵等价的概念，了解矩阵的秩的含义，能通过初等变换求矩阵的秩和矩阵的逆。

4. 掌握几种特殊矩阵(零矩阵，单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵，上、下三角矩阵，稀疏矩阵等)并能熟练运用其性质。

(十三)行列式

【基本内容】

(一)行列式：定义、行列式的性质

(二)行列式的计算：计算、行列式的展开

【基本要求】

1. 掌握行列式的概念，了解行列式的性质。

2. 会利用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。

(十四)向量空间

【基本内容】

(一)向量：n维向量概念、向量的线性组合

(二)向量组：概念、向量组线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩

(三)向量空间：定义、性质、向量空间的封闭性

(四)子空间：定义、子空间的充要条件

(五)向量空间的基、维数与向量坐标：概念、基变换和坐标变换

【基本要求】

1. 掌握n维向量的概念，理解向量的线性组合与线性表示的概念。

2. 掌握向量组的概念，理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别方法。掌握向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，并会计算向量组的极大线性无关组及秩。

3. 掌握向量空间的定义和性质，理解向量加法和数乘运算的封闭性。

4. 掌握子空间的定义，理解子空间的充要条件，掌握子空间的判别方法。

5. 掌握向量空间的基、维数与向量坐标的概念，会计算有限维向量空间的基和维数，了解基变换和坐标变换的公式，会求过渡矩阵。

(十五)特征值与特征向量

【基本内容】

(一)特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质。

(二)相似矩阵：相似矩阵的实义与性质。

(三)矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵。

(四)实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵。

【基本要求】

1. 理解实方阵的特征值和特征向量的定义，理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。

2. 理解矩阵相似的定义，掌握相似矩阵的性质，

3. 熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A有n个互不相同的特征值。

4. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，了解实对称矩阵必正交相似于对角矩阵，会求实对称矩阵的正交相似标准形。

(十六)正交性和最小二乘法

【基本内容】

(一)线性空间内积：线性空间内积的概念、性质，及其运算。

(二)标准正交基：标准正交基的概念和求法，标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。

(三)正交矩阵的概念及性质，正交矩阵与标准正交基的过度矩阵的关系。

(四)正交变换的概念与性质，正交变换和正交矩阵的关系，正交子空间，正交补的概念及性质。

(五)同构的概念与最小二乘法。

【基本要求】

1. 掌握线性空间内积的概念及性质，理解欧几里德空间的概念，了解欧几里德空间中向量的正交，了解欧几里德空间中基的度量矩阵及其用途。

2. 理解标准(规范)正交基的概念，掌握标准(规范)正交基的求法(施密特正交化过程)，了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。

3. 掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。

4. 理解正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系，理解正交子空间、正交补的概念及性质。

5. 了解同构的概念，熟练掌握最小二乘法的运算方法。

(十七)对称矩阵和二次型

【基本内容】

(一)对称矩阵对角化：步骤与方法。

(二)二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、用正交变换和配方法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性。

【基本要求】

1. 熟练掌握对称矩阵对角化的步骤与方法。

2. 了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形。