浙江海洋大学

2026年研究生初试自命题考试大纲--数学

610《数学分析》

一、考查目标

1、系统、正确地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握解决数学分析中问题的基本思维方法和证明方法。

2、具有抽象思维能力和逻辑推理能力，掌握熟练的演算技巧，具备初步的应用能力和较强的分析问题和解决问题的综合能力。

二、试卷结构

1、题型结构

填空题、计算题、证明题，共计150分。

2、内容结构

函数极限与连续性、一元函数的微积分、多元函数的微积分、级数理论。

三、考试内容及要求

1、实数集与函数

实数：实数概念及性质;绝对值与不等式。

数集确界原理：区间与邻域;有界集与无界集;上确界与下确界，确界原理。

函数概念：函数定义;函数的表示方法;函数的四则运算;复合函数;反函数;初等函数。

具有某些特征的函数：有界函数，无界函数;单调函数，单调递增(减)函数，严格单调函数，单调函数与反函数;奇函数与偶函数;周期函数。

2、数列极限

极限概念：数列极限定义，数列的敛散性;无穷小数列。

收敛数列的性质：唯一性;有界性;保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算;归结原则。

数列极限存在的条件：单调有界定理;柯西收敛准则。

3、函数极限

函数极限的概念：函数极限的几种形式;左、右极限。

函数极限的性质：唯一性;局部有界性;局部保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算

函数极限存在的条件：归结原则;柯西准则。

两个重要极限： ; 。

无穷小量与无穷大量：无穷小量与阶的比较、高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量;无穷大量;曲线的渐近线(斜渐近线、水平渐近线与垂直渐近线)。

4、函数连续

函数连续性概念：函数的点连续性、左(右)连续性的概念及相互关系;间断点及类型;区间上的连续函数。

连续函数的性质：连续函数的局部性质，包括局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性;有界闭区间上连续函数的基本性质，包括有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致连续性定理;反函数的连续性。

初等函数的连续性：基本初等函数的连续性;初等函数的连续性。

5、导数与微分

导数概念：导数定义、单侧导数;导函数;导数的几何意义。

求导法则：导数的四则运算;反函数导数;复合函数的导数(链式法则、对数求导法);基本导数法则与公式。

参变量函数的导数。

高阶导数：高阶导数定义;莱布尼茨公式。

微分：微分的概念;微分运算法则;高阶微分;微分在近似计算中的应用。

6、微分中值定理及其应用

拉格朗日中值定理和函数的单调性：罗尔定理与拉格朗日定理;单调函数。

柯西中值定理和不定式极限：柯西中值定理;不定式的极限。

泰勒公式：带有佩亚诺余项的泰勒公式;带有拉格朗日余项的泰勒公式;在近似计算上的应用。

函数的极值与最值：极值判别;最大值与最小值。

函数的凸性与拐点：凸函数与凹函数;严格凸函数与严格凹函数;拐点。

函数作图：函数性态讨论，函数作图的一般步骤。

7、实数完备性

实数完备性基本定理：闭区间套与闭区间套定理;聚点与聚点定理;有限覆盖与有限覆盖定理;确界定理;单调有界定理;柯西收敛准则;基本定理的等价性。

闭区间上连续函数整体性质：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致连续性定理。

上极限与下极限：最小聚点与下极限;最大聚点与上极限。

8、不定积分

不定积分概念与基本积分公式：原函数与不定积分;基本积分表;不定积分的线性运算法则。

换元积分法与分部积分法：第一换元法与第二换元法;分部积分法。

有理函数和可化为有理函数的不定积分：有理函数的部分分式分解方法，有理函数的积分;几类可化为有理函数的积分。

9、定积分

定积分的概念：问题的提出;定积分的定义。

牛顿—莱布尼兹公式。

可积条件：可积的必要条件;达布上(下)和;上积分与下积分;可积的充要条件;可积函数类。

定积分的性质：定积分的基本性质;积分(第一)中值定理。

微积分学基本定理定积分计算(续)：变限积分与原函数的存在性;积分(第二)中值定理;定积分的换元积分法和分部积分法。

10、定积分的应用

微元法;平面图形面积计算;已知平行截面面积求体积;平面曲线弧长与曲率;旋转曲面的面积;定积分在物理中的某些应用，包括液体静压力、引力、功与平均功率等。

11、反常积分

反常积分概念：无穷限反常积分与收敛的定义;无界函数反常积分(瑕积分)与收敛的定义。

无穷限反常积分的性质与收敛判别：无穷限反常积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法。

瑕积分的性质与收敛判别：瑕积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法。

12、数项级数

级数的敛散性：数项级数的敛散性概念;级数收敛的柯西收敛准则，收敛级数的若干性质。

正项级数：正项级数收敛性的一般判别原则;比式判别法与根式判别法;积分判别法与拉贝判别法。

一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法;绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质;阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

13、函数列与函数项级数

一致收敛性：函数列及其一致收敛性概念与判别法;函数项级数及其一致收敛概念与判别法。

一致收敛的函数列与函数项级数的性质：连续性;可微(导)性;可积性。

14、幂级数

幂级数：幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域;幂级数的性质;幂级数和函数的连续性、可微性、可积性。

函数的幂级数展开：泰勒级数(麦克劳林级数);几种常见初等函数的幂级数展开。

欧拉公式。

15、傅里叶级数

傅里叶级数：三角函数与正交函数系;傅里叶级数与傅里叶系数;以为周期函数的傅里叶级数;收敛定理;周期延拓;奇延拓与偶延拓;正弦级数与余弦级数。

以为周期的函数的展开式：以为周期的函数的傅里叶级数;奇函数与偶函数的傅里叶级数。

收敛定理的证明。

16、多元函数极限与连续

平面点集与多元函数：平面点集的基本概念，包括邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集等;平面点集的完备性定理;二元函数的定义;多元函数的定义。

二元函数的极限：二元函数极限概念;二元函数极限计算与存在性判别法;累次极限;累次极限与重极限的关系。

二元函数的连续性：二元函数连续性概念及其性质;全增量与偏增量;有界闭域上连续函数的整体性质。

17、多元函数的微分学

可微性：可微性与全微分;偏导数;可微性条件;切平面的定义与可微的几何意义，全微分应用与近似计算。

多元复合函数微分法：多元复合函数求导法则;链式法则;多元复合函数的全微分与一阶微分的形式不变性。

方向导数与梯度。

泰勒定理与极值问题：高阶偏导数;多元函数的中值定理与泰勒公式;极值问题;黑赛(Hesse)矩阵。

18、隐函数定理及其应用

隐函数：隐函数概念;隐函数存在性与可微性定理;反函数存在定理。

隐函数组：隐函数组定理;反函数组与坐标变换;雅可比(Jacobi)行列式。

隐函数(组)定理的应用：平面曲线的切线与法线;空间曲线的切线与法平面;曲面的切平面与法线。

条件极值与拉格朗日乘数法。

19、含参量积分

含参量正常积分：含参量正常积分的概念;连续性、可微性与可积性。

含参量反常积分：一致收敛性及其判别法;含参量反常积分的性质(连续性、可微性与可积性)。

欧拉积分：函数及其性质;函数及其性质。

20、曲线积分

第一型曲线积分：第一型曲线积分的定义及其性质、计算。

第二型曲线积分：第二型曲线积分的定义及其性质、计算。

两类曲线积分的联系。

21、重积分

二重积分概念：平面图形的面积;二重积分的定义及其存在性;二重积分的性质。

二重积分的计算：二重积分与累次积分;换元积分法(极坐标变换与一般变换)。

格林公式;曲线积分与路径无关性。

三重积分：三重积分的概念;三重积分计算、三重积分与累次积分;三重积分换元积分法：柱坐标变换，球坐标变换与一般坐标变换。

重积分应用：曲面的面积;重心坐标;转动惯量。

22、曲面积分

第一型曲面积分：第一型曲面积分的概念与计算。

第二型曲面积分：曲面的侧;第二型曲面积分的概念与计算。

高斯公式与斯托克斯公式。

场论初步：场的概念;梯度场;散度场;旋度场。

四、推荐书目：

1、华东师范大学数学系，数学分析.第4版[M]，高等教育出版社，2010.