山东理工大学

数学与统计学院硕士研究生招生考试考试大纲

科目代码：856 科目名称：高等代数

考试范围：

一、多项式

熟练掌握带余除法、转辗相除法以及多项式的最大公因式求解;熟练掌握多项式整除、互素的性质及其推导;熟练掌握重因式的判定、余数定理的应用;熟练掌握求解有理系数多项式有理根的方法;熟练掌握特定整系数多项式不可约性的常用判定方法;了解数域上多项式的定义、运算及其运算规律;了解多项式的因式分解定理、标准分解式、复系数与实系数多项式的因式分解、多项式的根与性质。

二、行列式

熟练掌握有规律的高阶行列式的计算;能够熟练应用行列式的基本性质、代数余子式及其性质解决相关的计算问题;熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理在行列式计算中的应用;能够运用克拉默法则求解特定的线性方程组;了解排列、行列式的定义、行列式的基本性质的证明。

三、线性方程组

熟练掌握具体向量组的秩和极大线性无关组的求解方法;熟练掌握含参数向量组线性关系的讨论与求解的方法;熟练掌握含参数线性方程组解的讨论与求解的方法;熟练掌握线性方程组解向量的性质、解的结构及其应用;熟练掌握与向量组线性相关性有关基本问题的证明方法;理解线性组合、线性相关、线性无关的定义与性质;了解矩阵、矩阵的秩、矩阵的秩与其子式的关系。

四、矩阵

熟练掌握低阶、常见类型矩阵方程的求解;熟练掌握低阶矩阵、常见的特殊类型矩阵和分块矩阵可逆性的判定和求逆矩阵的方法;熟练掌握可逆矩阵、伴随矩阵、有关矩阵秩的常见等式和不等式的应用和证明方法;了解矩阵的定义、运算、运算律;了解可逆矩阵、矩阵的逆矩阵、伴随矩阵的定义;了解初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形;了解分块矩阵的意义及其运算性质。

五、二次型

熟练掌握含参数实二次型定性问题(正定、负定、半正定、不定)的解法;熟练掌握正定二次型(正定矩阵)有关基本性质和常见结论的证明方法;熟练掌握合同变换法化二次型为标准形的方法;了解二次型、二次型的矩阵、线性替换的概念;了解复数域与实数域上二次型的规范形的唯一性，正负惯性指数、符号差的定义。

六、线性空间

熟练掌握常见线性空间中子空间的判定、维数和基的求解方法;熟练掌握向量组生成子空间的和与交的基、维数的求解方法;熟练掌握子空间的维数公式及初步应用;熟练掌握两个子空间直和的充要条件、判定和基本证明问题的解法;掌握与向量坐标、基变换和坐标变换有关的基本计算问题的解法;了解线性空间的定义和性质;了解线性空间的基、维数、向量坐标的定义与性质;了解子空间的交与和的定义、性质;了解线性空间同构定义和性质。

七、线性变换和矩阵相似理论

熟练掌握方阵的特征多项式、特征值、特征向量的计算方法;熟练掌握方阵对角化的判定条件和涉及具体方阵对角化的计算方法;熟练掌握运用矩阵的相似标准形或者哈密顿-凯莱(Hamilton-Cayley)定理计算矩阵的乘方(多项式)的常用方法;熟练掌握线性变换特征值、特征向量、特征子空间的求解;熟练掌握同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系;熟练掌握线性变换在某一组基下的矩阵是对角形的充要条件;熟练掌握特殊类型线性变换在某一组基下的矩阵是对角形矩阵的证明方法;熟练掌握与线性变换的值域、核、秩、零度和不变子空间有关的基本证明问题的解法。了解线性变换的定义、性质、运算及运算律;了解线性变换的值域、核、秩、零度的概念等有关理论;了解空间分解为线性变换的不变子空间的直和与线性变换的矩阵之间的关系。

八、欧几里得空间

熟练掌握用正交线性替换化实二次型为对角形的计算方法(以及对于实对称矩阵求解正交矩阵，使得为对角形矩阵);熟练掌握实对称矩阵的特征值、特征向量、特征子空间、合同相似标准形的有关理论及其基本应用，如矩阵分解、正定性的判定与证明等问题;熟练掌握欧式空间中向量的长度、夹角、以及将给定的线性无关的向量组化为标准正交向量组的计算方法(施密特(Schmidt)正交化方法);熟练掌握正交矩阵的基本性质和判定、证明方法;熟练掌握欧氏空间中正交变换的定义、性质、充要条件，以及常见类型变化正交性的判定和证明方法。了解欧式空间的定义、性质、度量矩阵等概念和理论;了解正交向量组、标准正交基的概念和性质;了解欧式空间子空间的正交性、正交补的概念及性质。

参考书目：

《高等代数》第四版，北京大学数学系编，高等教育出版社。