浙江海洋大学

2022年研究生初试自命题科目考试大纲-数学

610《高等代数》

一、考查目标

“高等代数”是数学类专业的基础课，它是研究线性系统和线性结构的一门数学学科，是几乎所有数学后续课程的先修课程, 并且在自然科学的各个分支中有广泛而深刻的应用。该课程考查考生对高等代数的基本概念、主要理论、重要方法的掌握程度，同时考查考生的数学抽象思维、逻辑推理及运算求解能力，提高分析问题、解决问题能力。

二、考试形式与试卷结构

1、考试形式

考试形式为闭卷、笔试;考试时间为3小时。

2、试卷结构

填空题、解答题，满分计150分。

三、考试内容

(一)多项式理论： 多项式的整除，最大公因式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，重因式重根的判别，多项式函数与多项式的根。

重点掌握：重要定理的证明，如多项式的整除性质，不可约多项式的性质, 整系数多项式的因式分解定理等。运用多项式理论证明有关问题，如与多项式的互素和不可约多项式的性质有关问题的证明与应用以及用多项式函数方法证明有关的问题。

(二)行列式： 行列式的定义、性质和常用计算方法(如：三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行一列展开法、Laplace展开法等)。

重点掌握：n阶行列式的计算及应用。

(三)线性方程组：向量组线性相(无)关的判别。向量组极大线性无关组的性质、向量组之间秩的大小关系、矩阵的秩、Cramer法则，线性方程组有(无)解的判别定理、齐次线性方程组有非零解条件(用系数矩阵的秩进行判别、用行列式判别、用方程个数判别)、基础解系的计算及其性质、通解的求法，非齐次线性方程组的解法和解的结构。

重点掌握：向量组线性相(无)关的判别、向量组之间秩与矩阵的秩、齐次线性方程组有非零解条件及基础解系的性质、非齐次线性方程组解的结构与其计算。

(四)矩阵理论：矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用(求解线性方程组、求逆矩阵、求向量组的秩)、矩阵的等价标准形、矩阵可逆的条件(与行列式、矩阵的秩、初等矩阵的关系)、伴随矩阵及其性质、分块矩阵、矩阵的常用分解(如：等价分解，满秩分解，实可逆阵的正交三角分解等)，几种特殊矩阵的常用性质(如：对称矩阵与反对称矩阵，伴随矩阵、幂等矩阵，幂零矩阵，正交矩阵等)。

重点掌握：矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，应用矩阵理论解决一些相关问题。

(五)二次型理论：化二次型为标准形和规范形，实二次型在合同变换之下的规范型以及在正交变换之下的标准型的求法、惯性定律的应用，正定、半正定矩阵的判别及应用、正定矩阵的一些重要结论及其应用。

重点掌握：正定和半正定矩阵有关的证明，实二次型在合同变换之下的规范型以及在正交变换之下的标准型的计算。

(六)线性空间：线性空间、子空间的定义及性质、求线性空间中向量组的秩、求线性(子)空间的基与维数的方法、基扩充定理，维数公式，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间直和，一些常见的子空间(线性方程组解的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间、线性变换的特征子空间和不变子空间)。

重点掌握：向量组的线性相关与线性无关的综合证明，求线性(子)空间的基与维数的方法，维数公式的证明及应用，特别是子空间直和的有关证明。

(七)线性变换：线性变换的定义与运算，线性变换与n阶矩阵的对应定理，矩阵的特征多项式(包括最小多项式)及其有关性质，求线性变换的矩阵和特征值以及特征向量的方法，线性无关特征向量的判别及最大个数，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，特征子空间，不变子空间，核与值域的定理. 线性变换(包括矩阵)可对角化的条件，Hamilton-Caylay定理。

重点掌握：线性变换(包括矩阵)的对角化，求线性变换的矩阵和特征值以及特征向量的方法，线性变换(矩阵)的特征值以及特征向量的性质，线性变换的核与值域。

(八)λ-矩阵：λ-矩阵的初等变换，λ-矩阵的标准型，行列式因子，不变因子，初等因子，三种因子之间的关系，Jordan标准型理论。

重点掌握：求矩阵的三种因子、Jordan标准型。

(九)欧氏空间: 内积和欧氏空间的定义及简单性质(柯西-施瓦兹不等式，三角不等式，勾股定理等)。度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，正交变换(正交矩阵)的等价条件，对称变换，求正交矩阵T，使实对称矩阵A正交相似于对角矩阵。

重点掌握：欧氏空间的概念，标准正交基，Schmidt正交化方法，正交变换和对称变换。

四、推荐书目：

1、《高等代数》(第五版)北京大学编，高等教育出版社，2019年;

2、《高等代数》(第二版)黄廷祝等编，高等教育出版社，2016年。