南开大学 - 话题

南开大学硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲
本《数学分析》考试大纲适用于南开大学数学学科（包括南开大学数学学院，陈省身数学所，组合数学中心等）各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学（含广义积分）、级数、多元微分学和积分学（含参变量积分）等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，理解数学分析的基本理论，熟练掌握数学分析的各种运算，理解数学分析的基本思想和方法。　要求考生具有较好的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
考试内容：


1．分析基础：


极限： 数列与函数极限的定义， 收敛数列的性质与极限的四则运算，数列敛散的判别法， 函数极限的性质与运算法则，无穷大量与无穷小量，实数的基本理论（包括：确界原理，柯西收敛原理，有限覆盖定理，致密性原理，单调有界原理，区间套定理等），上极限和下极限，多元函数的极限概念与性质。


连续函数： 连续函数及其性质， 初等函数的连续性，一致连续， 闭区间上连续函数的性质，多元函数的连续性。


2．导数与微分：导数的概念，导函数的计算，高阶导数， 微分，微分中值定理， 函数的单调性和极值， 函数的凸性，洛必达法则，泰勒公式。


3．不定积分： 不定积分的概念， 换元积分法， 分部积分法，有理函数的积分， 三角函数有理式的积分，和某些无理函数的积分。


4．定积分： 定积分的概念与计算， 定积分的性质，微积分基本定理，换元积分法。


定积分在几何计算中的应用，


5．多元函数的微分学：偏导数概念与计算，全微分的概念，方向导数及梯度的性质，多元函数的泰勒公式，隐函数存在定理，极值理论。


6．重积分：重积分的概念与性质，重积分的计算。


7．曲线积分与曲面积分： 第一型曲线积分，第二型曲线积分，第一型曲面积分，第二型曲面积分，各种积分之间的联系，曲线积分与路径无关的条件。


8．数项级数： 级数收敛性的概念和基本性质，正项级数收敛差别法，任意项级数收敛差别法。　


9．广义积分： 无限区间上的广义积分，有限区间上无界函数的广义积分。


10．一致收敛： 函数列的一致收敛性，一致收敛与极限换序。


11．函数项级数：函数项级数的一致收敛判别法，幂级数的性质，泰勒级数，函数的幂级数展开，傅里叶级数的性质。


12．含参变量积分：含参变量的正常积分，含参变量的广义积分。

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